Équation de Mathieu
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En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au XIXe siècle.
C'est un cas particulier de l'équation de Hill : d 2 x d t 2 + G ( t ) x = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+G(t)x=0} où G ( t ) {\displaystyle G(t)} est une fonction périodique, avec :
G ( t ) = a − − 2 q cos ( 2 t ) {\displaystyle G(t)=a-2q\cos(2t)} , périodique de période T=π.
Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique.
Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu.
• G. W. Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable.
• G. Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet)
• Félix Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques) : on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin.
• Le pendule paramétrique (le botafumeiro par exemple) relève aussi de cette équation.
• Les cristaux photoniques ont réactualisé ces études.
Liens externes
• mathieu1868mile-mathieu1868(en) Émile Mathieu, « Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique », Journal de mathématiques pures et appliquées, 1868, p. 137-203 (lire en ligne)
• weissteineric-w-weisstein(en) Eric W. Weisstein, « Mathieu function », sur MathWorld
• weissteineric-w-weisstein(en) Eric W. Weisstein, « Mathieu Differential Equation », sur MathWorld
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